Simmetrie: dai solidi platonici ai cristalli miner

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04/07/2013 15:56 - 10/02/2017 10:55 #79 da P. Strolin
P. Strolin ha creato la discussione Simmetrie: dai solidi platonici ai cristalli miner
Simmetrie: dai solidi platonici alla struttura cristallina
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Per domande: autore o Domanda a un esperto
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Fig. 1. Kylix attica a figure nere, circa 550 a.C.
R. N. Milns Antiquities Museum, Queensland, Australia
Immagine The University of Queesland
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E’ palese quanto la Simmetria sia fondamentale in Natura. Le simmetrie sono innumerevoli, da microcosmo a macrocosmo: da esseri minuscoli, a foglie, a cristalli di qualsiasi natura, a farfalle, all’uomo, a quanto possiamo vedere nel cielo.

L’idea di Simmetria è tradizionalmente presente anche nella nostra cultura. Automaticamente vi poniamo attenzione anche nel quotidiano, ad esempio nel sistemare oggetti nella nostra casa. E’ quindi naturale l’attenzione che essa ha sempre ricevuto nell’espressione artistica in tutte le sue forme.

Guardate ad esempio la simmetrica perfezione della coppa attica rappresentata in Fig. 1 e che fu probabilmente il premio per la vincita di una competizione atletica.

Più sottile, ma strettamente connessa alla Simmetria come lo sono luce e ombra, è l’armonica introduzione di anche lievi Asimmetrie, alle quali sin dai primordi è stata particolarmente sensibile la cultura artistica orientale. Ne parleremo guardando una antica coppa giapponese in Asimmetrie al grandangolare .


Simmetrie e Asimmetrie

Anche nella visione che la Scienza ha della Natura, le Simmetrie possono essere accompagnate da Asimmetrie costituendone comunque il termine di riferimento. Pur se piccole, le possono avere grande importanza in Natura e in particolare nei processi evolutivi. Ne è un esempio la minima asimmetria di comportamento tra materia e anti-materia, che dalla simmetria negli istanti iniziali dell'Universo ha portato al totale prevalere di quella che (per questo) definiamo come materia. L'argomento è discusso in Asimmetrie, CP, tempo e antimateria scomparsa .
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Fig. 2. Danny Shanahan, The New Yorker (2012)
Immagine The New Yorker - Duane Kelly
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Vela e vento danno il mezzo motorio più naturale per l’avventura in mare e per vivervi la Natura con curiosità di scoperta, governando, lasciandosi portare e allo stesso tempo aprendosi alla riflessione. Senza null’altro si può andare lontano oltre l’orizzonte. Con questo spirito, potete navigare nelle Simmetrie e nelle Asimmetrie in due serie di articoli appositamente dedicate tra i Saggi tematici e muovervi da tempi antichi fino alle odierne avanguardie.

In aggiunta alle parole, una vignetta può servire ad attirare l'attenzione sulla parallela importanza di Simmetrie a Asimmetrie. Interpretiamo in questo senso una graziosissima di Danny Shanahan , pubblicata su The New Yorker e mostrata in figura 2.


Simmetrie nella Scienza

L’ Uomo Vitruviano - magistralmente rappresentato da Leonardo da Vinci inscrivendolo in un cerchio e talmente noto da rendere non necessario il riportarne qui un'immagine - testimonia l’interesse che la Simmetria ha storicamente suscitato nella cultura umana. Questo si manifesta esplicitamente nell'opera di artisti e scienziati in una singola persona, come in modo sommo Leonardo (se l'argomento vi incuriosisce, leggete Artigiani, artisti e scienziati ).

Nelle sue varie manifestazioni, la Simmetria ha assunto una primaria importanza nella Fisica Moderna. Al livello fondamentale, la struttura del mondo in cui viviamo - incluso il nostro corpo - e le forze che la determinano poggiano su Simmetrie: scavate nel terreno della conoscenza e troverete che esse sono alla base di tutto.

Come aiuto a rendervene pienamente conto, dopo questo leggete gli altri articoli nella serie sulle Simmetrie tra i Saggi tematici : Simmetrie: protoni, neutroni e ... quarks , Simmetrie: quarks per semi-professionisti , Simmetrie e Relatività Speciale , Simmetrie, leggi di conservazione e oltre e Simmetrie e Interazioni Fondamentali .

Con un breve excursus storico, questo articolo mostra quanto la Simmetria, onnipresente in Natura, sia profondamente radicato nella Scienza e nella Cultura in generale e come l’interesse degli scienziati si sia sviluppato nei secoli fino a giungere alla visione moderna, in Fisica e in generale nella Scienza.


Simmetria, Trasformazioni e Invarianza

Guardiamo la coppa attica in figura 1 e pensiamo al motivo per cui la diciamo "simmetrica". Non basta dire che è ovvio: vi deve essere un motivo razionale, anche se non ne siamo coscienti. Diciamo che è simmetrica perché appare nello stesso modo se scambiamo la destra con la sinistra o, in altre e più lungimiranti parole, se effettuiamo una "trasformazione" di coordinate che implica lo scambio della destra con la sinistra. Precisamente, se chiamiamo x la coordinata lungo l'asse orizzontale, la trasformazione fatta consiste nel cambiare x in -x. Simmetria significa "invarianza" rispetto a una trasformazione.

Prendiamo una sfera (il solido più simmetrico che si possa immaginare) perfetta e senza segni particolari incisi su di essa. La diciamo simmetrica perché possiamo ruotarla come vogliamo, ma chiunque la guardi non se ne accorge neanche. Qui l'invarianza sussiste rispetto a una qualsiasi trasformazione delle coordinate spaziali (x - y - z) che consista in una rotazione rispetto a un asse che passi per il centro della sfera. Il concetto è identico, anche se applicato a caso diverso e trasformazione diversa.
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Fig. 3. Cristallo di neve, a destra ruotato di 180o

Immagine del cristallo Astronomia.com
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Osservate ora la figura 3. Se non fosse per lo sfondo (appositamente scelto con colore graduato) vi accorgereste che il cristallo di neve a destra è lo stesso mostrato a sinistra, ruotato di 180o [/size]? Il cristallo è invariante per trasformazioni consistenti in rotazioni a passi "discreti" (ossia non continue) di 60o [/size]. E' un esempio di una Simmetria detta discreta.

Associando la simmetria alla invarianza rispetto a una trasformazione abbiamo usato parole rigorose e individuato un criterio generale per giustificare in modo rigoroso e preciso l'aggettivo simmetrico dato alla coppa attica, al cristallo di neve e a una sfera.

Non abbiamo complicato nulla nella sostanza. Abbiamo invece guadagnato in generalità e libertà: possiamo definire razionalmente la simmetria rispetto a qualsiasi trasformazione che vogliamo considerare. Vediamolo subito con un altro semplice esempio.

In sintesi, i concetti di Simmetria e di Invarianza rispetto una trasformazione sono equivalenti: essi sono due modi diversi di esprimere la stessa sostanza o, se volete, sono come le due facce della stessa moneta.

Il criterio matematico di invarianza rispetto a una trasformazione per definire una simmetria è però incomparabilmente superiore all'osservazione visiva, qualitativa e non quantitativa e permette di raggiungere più laghi obiettivi. Per la coppa attica, la trasformazione implica una sola coordinata spaziale, per il cristallo di neve due sfera tre. Il Rinascimento ha inventato la prospettiva geometrica per visualizzare tre coordinate sulle due di un foglio o di un dipinto, ma già quattro sono troppe per l'osservazione visiva di una simmetria. Non vi è invece alcun problema per il criterio matematico di invarianza, che in linea di principio può essere esteso a un qualsiasi numero di coordinate.

Essendo un "astratto" criterio matematico, esso è anche indipendente dalla natura delle coordinate: esse possono non essere coordinate spaziali come negli esempi fatti, per le quali la visualizzazione è corrisponde a quello che vediamo direttamente con i nostri occhi. Tanto per cominciare, esso vale per le quattro coordinate spazio-temporali (x - y- z - t) della Teoria della Relatività (vedete Simmetrie e Relatività Speciale ).

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Fig. 4. Solidi geometrici in pietra scolpita, Epoca Neolitica, Scozia
Ashmolean Museum, University of Oxford
Immagine Ashmolean Museum
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Fig. 5. I solidi platonici
da J. Kepler, Harmonices mundi, Libro II (1619)
Immagine Capasoblog

Antichità remota e classica

Le Piramidi d’Egitto vengono immediatamente alla nostra mente come antichissimi esempi di “forma simmetrica”. La prima piramide con forma geometrica regolare, la Piramide Rossa di Snefru , fu costruita attorno al 2600 a.C. dal grande scienziato-ingegnere-architetto Imhotep . Essa è ancora relativamente integra in un affascinante ambiente desertico a Dahshur nei pressi di Saqqara . In realtà, le Piramidi sono più Geometria che Simmetria.

A noi qui interessa la Simmetria come “sistema”. La figura 4 mostra dei solidi geometrici (forse dei dadi) di epoca neolitica scozzese (circa 2000 a.C.) conservati all’ Ashmolean Museum di Oxford. Essi possono essere visti come un’anticipazione dei " solidi platonici ", che immediatamente vedremo.

Con la mentalità logica e speculativa che li distinse, gli antichi greci iniziarono una nuova era della cultura umana e introdussero l'astrazione anche con la Geometria. Furono così identificati geometricamente i poliedri regolari : tetraedro, ottaedro, cubo, icosaedro e dodecaedro. La figura 5 mostra una rappresentazione dei solidi platonici, sulla quale torneremo a breve in relazione all'illustre autore del libro dal quale è tratta: Giovanni Keplero (1571-1630).

Platone (427 - 348 a.C.) ne parla nel Timeo. Da questo proviene la denominazione di " solidi platonici ". Egli li considera anche come le forme strutturali dei costituenti fondamentali dell'universo fisico: i primi quattro sono associati a fuoco, aria, terra e acqua, mentre il dodecaedro lo rappresenta nel suo complesso. Questo è in linea di principio molto interessante: già nell’antichità classica, la Simmetria fu vista non solo come fatto geometrico ma anche come intrinseca alla struttura fisica microscopica e macroscopica.

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Fig. 6. Piero della Francesca, Dettaglio della Pala Montefeltro (1472),
Pinacoteca di Brera, Milano - Immagine ARTE.it
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Rinascimento

Nel Rinascimento Arte, Matematica e Geometria sono strettamente connesse e la Simmetria fa parte di un loro patrimonio comune. Dice Giorgio Vasari (1511-74) nel capitolo su Piero della Francesca (1416-92) de Le vite de’ più eccellenti architetti, pittori, et scultori italiani (1550).

"Attese Pietro nella sua giovanezza alle matematiche, et ancora che di anni XVI fusse in diritto ad esser pittore, non si ritrasse già mai più da quelle".

La prospettiva geometrica rinascimentale è opera della Scienza, cho con essa irrompe nella pittura. Nei quadri di Piero della Francesca vediamo subito il ruolo rigoroso della prospettiva, ma con occhi attenti avvertiamo anche segni della sensibilità dell’artista per la Simmetria.

Guardate in Fig. 6 il corpo ovoidale sospeso, probabilmente un uovo di struzzo, nel dettaglio della Pala Montefeltro (detta anche Pala di Brera), esposta nella Pinacoteca di Brera a Milano. Molto si è discusso anche sul suo significato simbolico e su questo esiste tutta una letteratura .

Notate che la simmetria del corpo sospeso di forma ovoidale nella Pala Montefeltro è strettamente legata a una invarianza rispetto a una trasformazione (rotazione) continua delle coordinate spaziali, come quella di una sfera ma rispetto a un solo asse di rotazione.
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Fig. 7. Luca Pacioli ritratto con Guidobaldo, Duca di Urbino (1495)
Attribuito a Jacopo de' Barberi
Museo Nazionale di Capodimonte, Napoli - Immagine: Wikipedia
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I poliedri regolari furono oggetto di appassionati studi. Nei suoi ultimi anni di vita Piero della Francesca scrisse tre libri di matematica, mai pubblicati, tra cui De quinque corporibus regolaribus sui cinque solidi platonici.

La figura 7 mostra il matematico Luca Pacioli (1445-1517) - di Borgo Sansepolcro come Piero della Francesca - autore del libro De divina proportione, pubblicato a Venezia 1509 e illustrato dal giovane Leonardo da Vinci. A destra sul tavolo è posto un dodecaedro platonico. Nella parte superiore sinistra si vede appeso un poliedro con un maggior numero di facce.

La simmetria di un poliedro è collegata a una invarianza rispetto a trasformazioni delle coordinate spaziali consistenti in rotazioni a passi angolari di grandezza definita attorno ad assi orientati secondo direzioni perpendicolari alle sue facce: ruotate un cubo di 90o [/sup] attorno a uno di tali assi e vedrete il cubo nello stesso modo.

Le forme dei solidi platonici furono riprese da Giovanni Keplero (1571-1630) nel cercare la divina armonia della Geometria nel moto dei corpi celesti. Il titolo del suo libro Harmonices Mundi (1619) dice molto sullo spirito di Keplero. Attraverso la ricerca dell'armonia egli scoprì empiricamente le Leggi che portano il suo nome. Lo scienziato non ha paraocchi come i cavalli da tiro e ama stabilire collegamenti. Perché non vedere l'approccio d Keplero come precursore di quello che da simmetrie ha portato alla scoperta dei quarks, come esposto in Simmetrie: protoni, neutroni e ... quarks ?

L’immagine dei solidi platonici riportata in figura 5 è estratta da un’illustrazione del suddetto libro di Keplero. Potreste leggere i saggi Plato’s geometry of elements e Kepler’s harmonic spheres di Frank Wilczek, Premio Nobel per la Fisica 2004 .

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Fig. 8. Cristalli di Salgemma
Immagine Wikimedia Commons
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Fig. 9. La struttura cristallina del Salgemma
Immagine Ebook Scuola Zanichelli

Simmetria e struttura dei cristalli

Dai poliedri come entità geometriche passiamo a considerare dei corpi fisici in cui li vediamo materializzati: i cristalli minerali .

Come esempio, la figura 8 mostra dei cristalli di Salgemma (detto anche Halite) e la figura 9 la loro struttura cristallina: a sinistra schematizzando le corrette dimensioni (1 Angstrom = 10-8 [/size] cm) degli atomi che lo compongono (Na e Cl), a destra evidenziando la geometria del reticolo secondo cui essi sono disposti e la sua Simmetria. La simmetria dei cristalli è determinata dagli atomi che li costituiscono e da come essi si possono regolarmente sistemare in una struttura compatta propria (come proprio dello stato solido). Vi è quindi uno stretto collegamento tra Simmetria e costituenti del reticolo. E' una metodologia che continua ad instaurarsi.

Forse il fascino esercitato dai cristalli proviene, oltre che dalla loro bellezza, da un desiderio di Scienza che chiunque prova per capire il mistero della loro simmetria. Sta di fatto che la simmetria dei cristalli ci porta dentro di essi, alla natura degli atomi che li costituiscono: è una metodologia basata su simmetrie che continua ad instaurarsi e che avrà seguito nella Fisica Moderna. Per un approfondimento sui cristalli, La Fisica di Feynman (La geometria interna dei cristalli, Cap. 30-1, Vol. 2) offre sempre un punto di vista speciale.

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Fig. 10. Sfere di eguali dimensioni
generano una simmetria esagonale
Immagine Philosophy of pattern
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Una metodologia generale

Non è necessario andare lontano o a cose complicate per comprendere la validità della metodologia. Quando riempiamo un vassoio con biglie di eguali dimensioni emerge una simmetria esagonale (figura 10) e viceversa l'osservazione un simmetria simmetria esagonale dice che le biglie hanno eguali dimensioni. Anche se non riusciamo a distinguere le biglie la simmetria fornisce una chiave per svelare l'origine del fenomeno.

La stretta connessione tra simmetria e struttura interna si ritrova per esempio in Simmetrie: protoni, neutroni e ... quarks , ove che la simmetria (non nell'usuale spazio geometrico, ma in uno definito dai numeri quantici dei quarks) di queste particelle denuncia la presenza di loro costituenti strutturali: i "quarks" (vedete anche Interazione Forte )).

Sintesi complessiva

Le Simmetrie come metodologia costituiscono un importantissimo leitmotiv (per usare parola tedesca usata nella musica, in italiano "tema conduttore") della Fisica Moderna, con profonde radici nella Storia.
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A significare questo, concludiamo mostrando in figura 11 un disegno attribuito a Leonardo da Vinci (1452-1519), che si ritrova in Simmetrie: protoni, neutroni e ... quarks . Il disegno anticipa la struttura simmetrica in cui nel "Modello a quarks" si dispongono le particelle apparentate a neutrone e protone da una simmetria.

Esso rappresenta un " tetraedro troncato " cioè un tetraedro con le cuspidi tagliate. In Geometria, esso è uno dei 13 " solidi archimedei ", solidi regolari che si aggiungono ai solidi platonici rimuovendo la condizione che le facce siano tutte uguali.







Fig. 11. Tetracedron abscisus (Tetraedro troncato)
Da Luca Pacioli , De divina proportione ,Tavola IIII (1496-97)
Disegno attribuito a Leonardo da Vinci, Biblioteca Ambrosiana, Milano
Immagine DeA Picture Library – Alinari - Veneranda Biblioteca Ambrosiana

Paolo Strolin

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Professore Emerito di Fisica Sperimentale
Università di Napoli "Federico II"
Complesso Univ. Monte S. Angelo
Via Cintia - 80126 Napoli - Italy
Ultima modifica: 10/02/2017 10:55 da Paolo.

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