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Non è banale il significato profondo dell'incessante ruotare dei Dervisci nelle loro antiche danze rituali (figura 1). Un rapido ruotare porta anche noi a un diverso stato di percezione. Lo scopo profondo dei Dervisci è unirsi alla sorgente di ogni perfezione uscendo dal proprio ego nel ruotare accompagnati dalla musica. La danza dei Dervisci ha ora assunto anche aspetti di attrattiva per turisti, il che è bene se porta a estendere cultura e sensibilità oltre ogni barriera e a meditare, almeno per un poco.


Non è cosa banale neanche il parlare di "momento angolare di spin" (in inglese, "spin" vuol dire “rotazione”) per le particelle. Lo spin, come esso è correntemente detto, è però realtà fisica e i fatti sperimentali devono essere "accettati come tali" anche se incomprensibili in base alla nostra comune esperienza sensoriale. L’esperimento di Stern-Gerlach fu la prima solida pietra di una straordinaria costruzione di Scienza. L'attuale inquadramento teorico è valido perché li descrive correttamente. Le ragioni profonde sono un mistero.
L’articolo Pensare in Quantistico costituisce la necessaria premessa concettuale a questo articolo. Lo spin dell’elettrone: roba da ragazzi , Spin e elicità dell'elementare e Lo spin: bosone o fermione? ne sono il seguito. Il secondo tratta del mistero ancora più fitto dello spin per particelle “puntiformi”, quali sono correntemente considerate le particelle “elementari”. Al livello di conoscenza di oggi, esse sono i “quarks” e i “leptoni”. Il loro capostipite è appunto l’elettrone, oggi classificato tra i leptoni. L’articolo Lo spin: dal quotidiano alla spintronica aggiunge altri buoni motivi per capire lo spin.

Inizieremo con un poco di Storia e con il ricordare i concetti di momento angolare e di momento magnetico in fisica classica. Parleremo poi dell’esperimento di Stern-Gerlach. Esso diede la prima evidenza sperimentale che le particelle si comportano “come se" fossero animate da un intrinseco moto di rotazione (lo “spin”) e che la sua entità è “quantizzata”. Illustreremo infine come in Meccanica Quantistica si esplica la quantizzazione del momento angolare.

Per una panoramica storica e scientifica, leggete gli articoli seguenti:

- Stern-Gerlach experiment: Answers on a postcard
- Development of magnetic devices: From the compass to Apollo
- Nuclear Magnetic Resonance: New resonance
- Nuclear Magnetic Resonance for chemical analysis: A shift in expectation
- Magnetic Resonance imaging: From spectrum to snapshot
- Nuclear Magnetic Resonance for protein structure determination: Solution for solution structures , in Nature milestones: spin della raccolta Nature milestones edita dalla rivista Nature.


Un breve curriculum del momento angolare

La grandezza fisica detta "momento angolare" descrive quantitativamente l’entità di un moto di rotazione o di rivoluzione. Con la seconda (tempi uguali - aree uguali) delle empiriche leggi di Keplero (Astronomia Nova, 1609), esso entra nella Storia della Scienza “in incognito” assieme al principio della sua conservazione. Continua come tale nella grandiosa opera di Newton Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687), ove la comprensione del moto dei corpi celesti avanza in solidarietà con quella delle leggi fisiche. Esce allo scoperto nel 1744 con la sua formulazione da parte di Bernoulli. Continua la sua gloriosa carriera in Fisica Classica, sempre beneficiato in importanza dal sodalizio con il principio della sua conservazione. Il suo ruolo è magnificato in Meccanica Quantistica, per fatti molto chiari ma prendendosi la rivincita di mantenerne “in incognito” le ragioni profonde. Se volete saperne di più e in tono professionale, leggete Angular momentum between Physics and Mathematics di A. Borrelli.


Momento angolare in fisica classica

Come la velocità nel moto al quale esso si riferisce, il momento angolare è un “vettore” J con una direzione e un verso. La direzione, che altro può essere se non quella dell’asse di rotazione? Per convenzione, il suo verso è tale da fare apparire orario il senso della rotazione (così detta “destrorsa”) guardando nel verso stesso (figura 2), come lo è l’avvitamento di una vite guardando nel verso del suo moto di avanzamento.

Fig. 2. Per definizione, la rotazione è oraria guardando della direzione e verso del vettore momento angolare - Immagine: Wikipedia

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Fig. 3. Palla da tennis in rotazione con momento angolare che, per convenzione, punta verso chi guarda - Immagine: The Tennis Server

In fisica classica, il momento angolare nel moto di rotazione di un oggetto è associato a una sua dimensione finita e quindi alla possibilità di vederla, almeno in linea di principio. Tuttavia, il vedere effettivamente la rotazione non è necessario per rendersene conto ed eventualmente subirne gli effetti. Una palla da tennis “tagliata”, cioè messa in rotazione da un colpo di taglio della racchetta, manifesta il suo moto di rotazione dalla curvatura della traiettoria causata dall'asimmetrica interazione fluidodinamica con l'aria (figura 3) e soprattutto dal rimbalzo difficilmente prevedibile dal tennista che riceve. A occhio nudo, nessuno vede direttamente il moto di rotazione della palla da tennis. Eppur ruota e qualcuno perde palla.


Momento magnetico in fisica classica

Consideriamo un oggetto di massa m e carica elettrica q che percorre un'orbita circolare, come mostrato in figura 4 (tratta integralmente da The Feynman Lectures on Physics, Vol. 2, Cap. 34.2 . Il momento angolare J è rappresentato da un vettore diretto secondo l'asse di rotazione e orientato come in figura 2. Essendo l'oggetto in rotazione elettricamente carico, vi deve anche essere una grandezza di natura elettro-magnetica (e non meccanica) corrispondente al momento angolare. Questa grandezza è il "momento magnetico" μ , orientato concordemente con quello angolare.

Fig. 4. Momento angolare J e momento magnetico μ Immagine da The Feynman Lectures on Physics

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Fig. 5. Le forze torcenti su una spira percorsa da corrente e immersa in un campo magnetico B. La spira è perpendicolare al foglio ed è vista in sezione. La corrente entra nel foglio a destra (x) e esce a sinistra (●). - Immagine: The free dictionary

La carica in rotazione equivale a una spira percorsa da corrente. In un campo magnetico, una spira è soggetta a una forza che ne orienta il momento magnetico nella direzione e nel verso del campo magnetico come mostrato in figura 5. La spira si comporta così come un ago di bussola perpendicolare ad essa. Infatti un ago di bussola si orienta nella direzione e verso del campo magnetico terrestre: il Nord magnetico. Cogliete ogni occasione per riflettere: l’ origine del campo geo-magnetico è tuttora largamente sconosciuta. Nella Scienza il mistero si annida dappertutto.


L’esperimento di Stern e Gerlach

Mettiamola così. I corpi celesti hanno moti di rivoluzione, ma anche moti di rotazione su sé stessi. Esiste nel mondo quantistico qualcosa di corrispondente alla rotazione e che sia “intrinseco” alle particelle? Nel 1922 il famoso esperimento di Stern e Gerlach portò alla doppia sensazionale scoperta che le particelle – atomi nel caso specifico - possono avere un momento magnetico intrinseco (di “spin”) e che esso è quantizzato.

Al tempo dell’esperimento, Stern e Gerlach avevano 33-34 anni. Otto Stern – di origine ebrea - fu insignito del Premio Nobel nel 1943, il primo anno in cui essi vennero attribuiti dopo l’inizio della Seconda Guerra Mondiale. Walter Gerlach era rimasto attivo nella Germania nazista e l’esperimento non fu menzionato nella motivazione del premio. La storia della Scienza è parte di quella della umanità. Vi porta enormi progressi e vi si interseca in vari modi e con diversissimi pesi. Purtroppo turba talvolta le nostre coscienze. Un caso senza paragone è quello della bomba atomica .


L’apparato sperimentale è schematizzato in figura 6, tratta integralmente da The Feynman Lectures on Physics (Vol. 2, Cap. 35.2) . Un sottile fascio di atomi di Argento è prodotto tramite vaporizzazione e collimazione. In assenza di forze esterne, esso si propaga in linea retta e produce una macchia su una lastra fotografica con supporto di vetro. Stern e Gerlach interposero tra collimatore e lastra di vetro un magnete capace di generare un campo magnetico diretto verticalmente e fortemente crescente andando dal polo inferiore a quello superiore “a coltello”, ove si addensano le linee di campo. Un siffatto campo magnetico ha la proprietà di esercitare sugli atomi (elettricamente neutri) una forza verticale, proporzionale al valore della proiezione verticale del loro momento magnetico e diretta verso l’alto o verso il basso secondo il suo orientamento rispetto al campo magnetico.

L’esperimento era progettato per la gettare luce sulla eventuale presenza di un momento magnetico intrinseco agli atomi. Nel caso positivo, era attesa una distribuzione continua della sua proiezione verticale. Un momento magnetico, se effettiva realtà fisica, avrebbe dunque dovuto produrre uno stiramento della macchia in verticale. No, Stern e Gerlach osservarono uno sdoppiamento della macchia in due, una spostata verso l’alto e l’altra verso il basso: gli atomi hanno un momento magnetico ed esso è "quantizzato"! Si vedrà che esso può assumere solo valori ugualmente spaziati.

Lo sconcertante risultato diede il via a raffinatissimi esperimenti, a iniziare da quelli di I.I. Rabi , all’epoca poco più che trentenne e Premio Nobel 1944 . La scoperta del momento magnetico di spin e della sua quantizzazione fu il primo passo verso la scoperta di un corrispondente momento angolare intrinseco (di “spin”), esso pure quantizzato. Il seguito all’esperimento di Stern-Gerlach fu quindi anch’esso sconcertante. Tutto si compose infine nel quadro fornito dalla Meccanica Quantistica, fenomenologicamente coerente ma con tuttora misteriosi fondamenti.


Il momento angolare di spin

Sintetizziamo quanto detto sopra, focalizzando l’attenzione sul momento angolare di spin. Le particelle con spin non nullo sono sperimentalmente caratterizzate da una grandezza fisica intrinseca con le proprietà di un momento angolare e ben definita nella Meccanica Quantistica che le descrive. Avremmo tutto il diritto di mettere punto e basta.

In fisica classica, un momento angolare esprime quantitativamente l’entità del moto di rotazione di un oggetto. Vorremmo vedere le particelle sfruttando la nostra abitudine alla fisica classica. Non è lecito. Va infatti sottolineato con forza che il momento angolare di spin non è legato a una rotazione nel senso comune della parola, ma è da considerare come una grandezza intrinseca e cioè totalmente interna e inaccessibile. Essa è inimmaginabile in base ai concetti di fisica classica, in linea di principio visualizzabili secondo la comune esperienza sensoriale. Se proprio vogliamo, possiamo dire che esse si comportano "come se" fossero in rotazione o qualcosa al loro interno lo fosse. Leggete l’articolo Pensare in Quantistico per capire cosa si può intendere per “filosofia del come se”.


Il momento angolare in Meccanica Quantistica

Abbiamo parlato del momento angolare di spin. In fisica classica, l’entità di un moto di rivoluzione è quantitativamente espressa da un momento angolare, come per un moto di rotazione. In Meccanica Quantistica le particelle – ad esempio gli elettroni in un atomo – possono essere anche caratterizzate da una grandezza corrispondente: il “momento angolare orbitale”. Tuttavia esso non si riferisce a una vera e propria orbita tant’è che si usa la parola “ orbitale ”.

E’ realtà sperimentale da accettare che nei fenomeni governati dalla Meccanica Quantistica è possibile misurare il valore delle proiezione di un momento angolare secondo una sola direzione, mentre le altre proiezioni restano indefinite. La proiezione misurata è solitamente indicata con m_s per lo spin e con m per il momento angolare orbitale. E’ stato inoltre sperimentalmente osservato che essa è “quantizzata”, cioè può assumere solo valori spaziati di una quantità costante. L’unità di misura abituale è h / 2π ("accatagliato"), dove h è la costante di Planck : una nuova prepotente prova che la costante di Planck regna sovrana in Meccanica Quantistica. In tale unità di misura, m può solo assumere valore nullo o intero e m_s anche semi-intero.

In fisica classica i momenti angolari sono normali vettori, con un proprio modulo e ben definite proiezioni secondo i tre assi cartesiani x-y-z. In Meccanica Quantistica oltre al modulo può essere misurata una sola proiezione (m_s o m), come sopra. Così, il concetto di vettore perde il suo significato classico. Per il modulo ci si riferisce correntemente al “numero quantico di momento angolare”, che corrisponde al massimo valore che la proiezione misurata può assumere in valore assoluto. Il numero quantico di momento angolare è indicato con s per lo spin e l per il momento angolare orbitale. Ad esempio, le particelle costituenti del nucleo atomico – protone, neutrone e elettrone - hanno s = ½ e m_s = ± ½.

Dice Feynman riguardo al momento angolare in Meccanica Quantistica: "In quantum mechanics the angular momentum of a thing does not have an arbitrary direction, but its components along a given axis can take on only certain equally spaced, discrete values. It is a shocking and peculiar thing. You might think that perhaps we should not go into such things until your minds are more advanced and ready to accept this kind of an idea. Actually, your minds will never become more advanced - in the sense of accepting such a thing easily. ... The behaviour of matter on a small scale is different from anything that you are used to and is very strange indeed. ... We are not going to explain it, but we must at least tell you what happens" ( The Feynman Lectures on Physics, Vol. 2, Cap. 35.1 ).


Quale proiezione dello spin?

Si è detto che in Meccanica Quantistica possiamo misurare il valore (m o m_s) di una sola delle tre proiezioni del momento angolare. Quale direzione scegliere? Qui consideriamo particelle praticamente a riposo, come i nuclei atomici nella materia ordinaria. In Spin e elicità dell'elementare considereremo particelle in moto e introdurremo il concetto di “elicità”.

Se nulla attorno indica una direzione, ci troviamo nel caso in cui per troppa libertà non sappiamo come orientarci. La presenza di un campo magnetico introduce invece un’asimmetria nell’ambiente esterno ed è naturale scegliere come riferimento la sua direzione. Consideriamo in particolare il nucleo dell’atomo di Idrogeno: il protone, che come si è detto ha s = ½. Il campo magnetico differenzia energeticamente i due orientamenti m_s = ±½ del momento angolare (e quindi del momento magnetico) di spin rispetto a esso. Il campo magnetico tende a orientare lo spin nella sua direzione e verso. Come l’ago di una bussola, che ha la minima energia puntando verso il Nord.

Questa differenziazione energetica è sfruttata nella Risonanza Magnetica Nucleare usata in diversi campi e di grande attualità, come vedremo in Lo spin: dal quotidiano alla spintronica . L'applicazione più nota è in diagnostica medica. La Risonanza Magnetica Nucleare sfrutta la differenziazione energetica tra diversi orientamenti dello spin nucleare in un campo magnetico, combinandola con una “risonanza” nell’assorbimento di una radiazione elettromagnetica (in generale nel dominio delle radiofrequenze) quando la sua frequenza corrisponde all’energia di transizione tra due orientamenti dello spin. Le frequenze di risonanza caratterizzano i nuclei e permettono di individuare gli elementi chimici corrispondenti. Ricordiamo che a una frequenza v corrisponde un’energia hν del “quanto” della radiazione (fotone), ove h è la costante di Planck .

Per la diagnostica medica, il paziente è immesso nel campo magnetico generato da un elettromagnete ed è investito da onde elettromagnetiche. L’assorbimento delle onde elettromagnetiche è forte quando la loro frequenza corrisponde (“risuona”) all’energia che provoca la transizione da quello di minima a quello di massima energia tra i due stati m_s = ±½ dei protoni nel campo magnetico. Una mappa dell’assorbimento alla frequenza di risonanza evidenzia la distribuzione dei nuclei di Idrogeno, e quindi essenzialmente la distribuzione dell'acqua, nel corpo del paziente. Questo è il principio di base della metodologia, in realtà più complessa. Estendendola a diversi nuclei e in particolare a Carbonio-13 e Azoto-15, è possibile differenziare i tessuti e in particolare identificare formazioni cancerose.


La prossima puntata

Il discorso sullo spin, qui intrapreso, continua in Lo spin dell’elettrone: roba da ragazzi . Per approfondimenti, vi segnalo The Feynman Lectures on Physics (Vol. 2, Cap. 35) .


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